Вычислить собственные числа и векторы матрицы

Определение :

Вектор  a, не равный 0, называется собственным вектором (характеристическим вектором) линейного оператора A, а λ- собственным числом (собственным корнем , характеристическим числом) , соответствующим собственному вектору a, если выполняется равенство

Aa= λa

Собственный вектор определен с точностью до коэффициента пропорциональности.

Aa-λa=0  или (A-λI)a=0

Определение:

Уравнение  |A-λI|=0 называется характеристическим уравнением матрицы. Корнями этого многочлена являются характеристические (собственные) числа матрицы :

Пример:

det (A-λI)={{1-λ,4},{1,1-λ}}=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=0

λ₁=-1  ,  λ₂=3

Читать полностью

Вычислить обратную матрицу

Определение:

Матрица A называется невырожденной , если она имеет максимальный возможный ранг: rank(A)=n.

Определение:

Матрицей, обратной к матрице A , называется матрица , обозначаемая A^-1, такая, что AA^-1=A^-1A=I

Для всякой невырожденной квадратной n*n матрицы A существует обратная матрица A^-1

Если обозначить элементы обратной матрицы a^ij , тогда:

a^ij=(-1)^i+j|M_ji|/|A|

где M_ji - матрица , получающаяся из A вычеркиваием i-й строки и j-го столбца.

Для вычисления обратной матрицы данные вводятся в виде:

Читать полностью

Вычислить определитель (determinant) матрицы

Определитель (determinant) det(A)=|A| называется числовая функция матриц, удовлетворяющая следующим условиям:
1. n=1, det(A)=a₁₁

2.  ”разложение определителя по строке”  при n>1:

|A|=Σ ⁿ_j=1 a_ij(-1)^i+j|A_ij|, где A_ij-(n-1)*(n-1) матрица , получающаяся из исходной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Определитель |A_ij | называется минором матрицы порядка n-1 матрицы А

a₁₁ a₁₂ a₁₃

n=3:det a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₁a₂₃a₃₂

a₃₁ a₂₃ a₃₃

Для вычисления определителя матрицы данные вводятся в виде:

Читать полностью

Вычислить след (trace) матрицы. Compute the trace of a matrix

След матрицы равен сумме ее диагональных элементов:

tr(A)=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=Σa_ii

Чтобы вычислить след матрицы данные вводятся в виде:

tr {{9, -6, 7}, {-9, 4, 0}, {-8, -6, 4}}